- Hikmatov A.G‘. Ekstremal masalalar. «O‘qituvchi» 1985 y.
- Fixtengols M. Matematik analiz asoslari. 1 tom, «O‘qituvchi» T.1970y.
- Готман Э.Г. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений. Журнал Математика в школе №2, 1979г.
- Улимаева А.Т. Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций. Журнал Математика в школе №6, 1979г.
MAKTAB MATEMATIKA KURSIDA EKSTREMUMGA DOIR MATNLI MASALALARNI YECHISHNI O‘RGATISH
Pardaeva Zamira O‘ktamovna
Jizzax DPU, katta o‘qituvchi
zamirapardayeva07@gmail.com
G‘aybullaev Lochin Jahongir o‘g‘li
Jizzax DPU, 3-kurs talabasi
lochinbek20022805@gmail.com
Annotatsiya: Ushbu maqola o‘rta maktab matematika kursida hosilalarni qo‘llashga asoslangan ekstremal masalalarni yechish usuli va bu usul formula orqali berilgan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga olib keladigan masalalarda qo‘llanilishiga bag‘ishlangan. O‘quvchilarda bunday masalalarni yechish qobiliyatini shakllantirish o‘rta maktabda matematik tahlil asoslarini o‘qitishning eng muhim ta’limiy maqsadlaridan biri hisoblanadi.
Annotation: This article is focused on the method of solving extremal problems based on the application of derivatives in a high school mathematics course and the application of this method to problems that lead to finding the maximum and minimum values of a function given by a formula. Formation of students’ ability to solve such problems is one of the most important educational goals of teaching the basics of mathematical analysis in high school.
Kalit so‘zlar:hosila, ekstremal masala, funksiya, matematik model, kritik nuqta, eng katta va eng kichik, optimal qiymat.
Key words: derivative, extremal problem, function, mathematical model, critical point, largest and smallest, optimal value.
Hozirgi kunda respublikamizda xalq xo‘jaligining barcha jabhalarida samaradorlik va sifatni oshirish masalalariga katta e’tibor qaratilmoqda. SHu munosabat bilan, mavjud vositalardan foydalangan holda eng yaxshi natijaga qanday erishish mumkinligini, eng kam pul, materiallar, vaqt, mehnat va boshqalar bilan qanday qilib kerakli natijaga erishish mumkinligini aniqlash kerak bo‘lgan hollarda ekstremal masalalarni yoki optimallashtirish masalalarni yechish qobiliyati alohida ahamiyatga ega.
Maktab o‘quvchilari matematika kursida hosilalarni qo‘llashga asoslangan ekstremal masalalarni yechish usuli bilan tanishadilar. Ushbu usul formula orqali berilgan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga olib keladigan masalalarda qo‘llanilishi mumkin. Bunday masalalarni yechish qobiliyatini shakllantirish o‘rta maktabda matematik tahlil asoslarini o‘qitishning eng muhim ta’limiy maqsadlaridan biri hisoblanadi. Ushbu turdagi masalalar, agar hosila bo‘yicha bo‘lmasa, balki har qanday holatda ham yechimga yondashuv nuqtai nazaridan aniq amaliy yo‘nalishga ega. Darhaqiqat, masalani yechish va talqin qilish uchun matematik modelini qurish, undan foydalanishning: masalaning xususiyatlarini hisobga olgan holda uning shartini tavsiflovchi funksiyani tuzish, kritik nuqtalarni qidirish, kritik nuqtalarni tahlil qilish kabi barcha bosqichlari mos ravishda amalga oshiriladi.
O‘rta maktab matematika darsliklarida qaralayotgan oraliqning oxirida optimal qiymatga erishiladigan matnli ekstremal masalalar mavjud emas. Bundan tashqari, masalaning yechimi keltiriladigan funksiya oraliq ichida faqat bitta kerakli optimal qiymatga erishadigan kritik nuqtaga ega bo‘ladi. Agar o‘quvchilar faqat shunday masalalarni yechishsa, unda ularda istalgan optimal qiymatga har doim ushbu kritik nuqtada erishiladi va shuning uchun faqat kritik nuqtani topish va ushbu nuqtada funksiya qiymatini hisoblash bilan cheklanish yetarli degan taassurot paydo bo‘lishi mumkin.
Yuqorida keltirilgan shartlar qaralgan masalalarga misollar keltiramiz.
Masala 1. 40m sim to‘r bor. To‘rtinchi tomoni bino devoridan iborat bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi yer maydonining 3 tomonini shunday o‘rash kerakki, o‘ralgan yer maydonining yuzasi eng katta bo‘lsin. Agar bino devori: a)30m. b) 10 m. bo‘lsa maydonni toping.
Yechish. Yer maydonining devorga yopishgan tomonining uzunligini x
orqali belgilaymiz, u holda u bilan qo‘shni tomonning uzunligi , yer maydoni yuzasi bo‘ladi (1-chizma).
Masala S funksiyaning a) [0;30], b) [0;10], oraliqdagi eng katta qiymatini topishga keltiriladi:
Funksiyaning yagona kritik nuqtasi S (x=20)birinchi oraliqqa tegishli va ikkinchi oraliqqa tegishli emas. Birinchi xolda funksiya kritik nuqtada eng katta qiymatga ega va u quyidagiga teng S(20)=200 m2, ikkinchi xolda x=10 da S(10)=150 m2. Bundan ko‘rinib turibdiki, funksiya oraliqning oxirida eng katta qiymatga ega emas.
O‘quvchilarni optimallashtirishga doir masalalarni yechishda hisoblashlarni soddalashtirish imkonini beradigan usullardan biri bilan tanishtirish maqsadga muvofiq bo‘ladi. Bunday masalalarning aksariyati Pifagor teoremasi qo‘llaniladigan hisoblashlar bilan bog‘liq, va natijada kvadrat ildizlar paydo bo‘ladi, kvadrat ildiz qatnashgan ifodadan hosila olish ko‘phadga qaraganda ancha murakkab. Hisoblashlarni oxirgi holga keltirish uchun “Agar berilgan oraliqda funksiya musbat bo‘lsa, u holda bu funksiya faqat va faqat funksiyaning ekstremumi bo‘lgan nuqtalarda ekstremumga ega” degan tasdiqni qo‘llash o‘rinli, ya’ni funksiyaning kritik nuqtalarini topish funksiyaning kritik nuqtalarini topishga keltiriladi.
Agar funksiyaning analitik ifodasida kvadrat ildiz ko‘paytuvchi sifatida qatnashsa, u holda keltirilgan tasdiqqa asosan funksiyaning eng katta qiymatini topishda funksiya eng katta qiymatga erishadigan nuqtani topishimiz mumkin.
Endi hosilani qo‘llash yordamida topilgan yechimning kutilmaganligi bilan xarakterlanuvchi misolni ko‘rib chiqamiz. Bu misol geometrik intuitsiyani keyingi rivojlantirishda katta ahamiyatga ega.
Masala-2. Yarim doiraga ichki chizilgan barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklardan eng katta yuzaga ega bo‘ladiganini toping (to‘g‘ri to‘rtburchakning bir tomoni yarim doiraning diametrida yotadi).
Elementar yechim.
ABCD-yarim doiraga ichki chizilgan to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lsin
Berilgan yarim aylana va uning (KP)ga nisbatan o‘qli simmetriyadagi obrazining birlashmasi – aylana.
Bu aylanaga AA1B1B to‘g‘ri to‘rtburchak ichki chizilgan; [A1 B1]= |AB| (3-chizma).
ABCD to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi AA1B1B to‘g‘ri to‘rtburchak yuzining yarmi; bundan ABCD to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi faqat va faqat AA1B1B to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi maksimum bo‘lgandagina maksimum
bo‘ladi. Ammo yarim aylanaga ichki chizilgan to‘g‘ri to‘rtburchaklarning barchasidan tomonlarining nisbati 2:1 bo‘lgani eng katta yuzaga ega bo‘ladi va bu yuza R2 ga teng, bunda R berilgan yarim aylana radiusi.
Izoh. YUqorida turli masalalarda biz kutilmagan yechim xaqida so‘z olib borgan edik. U aksariyat xollarda teng yonli uchburchakni o‘tkir burchakli yoki to‘g‘ri burchakli qilib tasvirlashdan kelib chiqadi. Haqiqatdan, bunday holda uning yuzi eng katta bo‘ladi. Ammo o‘q kesimi o‘tmas burchakli uchburchakdan iborat bo‘lsa, bunday holda uning yuzi eng katta bo‘lmaydi.
Adabiyotlar ro‘yxati
