Alimov Hakim Nematovich
Jizzax davlat pedagogika universiteti, Tabiiy va aniq fanlarda masofaviy ta’lim kafedrasi mudiri,
fizika-matematika fanlari bo‘yicha falsafa doktori.
Annotatsiya. Maqolada kasr tartibli differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi quvish masalasini tadqiq qilishda mamentlar metodini qo‘llash imkoniyatlari o‘rganilgan.
Kalit so‘zlar. Kasr tartibli differensial tenglama, quvuvchi o‘yinchi, qochuvchi o‘yinchi, terminal to‘plam, Kaputo ma’nosidagi hosila.
ZADAChA PRESLEDOVANIYa V UPRAVLYaEMOY SISTEME
DROBNOGO PORYaDKA
Annotatsiya. V state izuchayutsya vozmojnosti primeneniya metoda momentov pri rassmotrenii zadachi presledovaniya, opisыvaemoy drobnыmi differensialnыmi uravneniyami.
Klyuchevыe slova: Differensialnoe uravnenie drobnogo poryadka, ubegayuщiy igrok, presleduyuщiy igrok, terminalnoe mnojestvo, proizvodnaya v smыsle Kaputo.
THE PURSUIT PROBLEM IN A FRACTIONAL-ORDER
CONTROLLED SYSTEM
Abstract. In the article using the moments methods the issues of chasing which symbolized fractional differential equations is studied.
Keywords: Fractional differential equation, escaping player, pursuing player, terminal set, derivative in the sense of Caputo.
Quvuvchi deb nomlanadigan birinchi o‘yinchining harakati
(1)
tenlama bilan ifodalansin, bunda tartibli differensiallash operatori, , tartibli o‘zgarmas matritsa. Qochuvchi deb nomlanuvchi ikkinchi o‘yinchining harakati
(2)
tenglama bilan berilgan, bunda tartibli differensiallash operatori, , tartibli o‘zgarmas matritsa, boshqaruv parametrlari, quvuvchi o‘yinchining boshqaruv parametri qochuvchi o‘yinchining boshqaruv parametri va kompakt to‘plamlar. Kasrli hosilani Kaputo ma’nosida tushunamiz.
Biror marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning tartibli kasrli hosilasi Kaputo ma’nosida quyidagi ifoda bilan aniqlanadi
. (3)
(1),(2),(3) differensial o‘yinlarda fazodagi bo‘sh bo‘lmagan terminal to‘plam, va orqali to‘plamlarning mos ravishda algebraik yig‘indisi va geometrik ayirmasini belgilaymiz. O‘yin tugallangan hisoblanadi, agar shart bajarilsa. Quvuvchi o‘yinchining maqsadi ni to‘plamga tushirishdan iborat, qochuvchi o‘yinchi unga xalaqit berishga intiladi.
Ta’rif. Agar (1), (2) differensial o‘yinda ixtiyoriy o‘lchovli funksiya uchun shunday o‘lchovli funksiya qurish mumkin bo‘lsaki, ularga mos
(4)
(5)
tenglamalarning yechimlari uchun shart bajarilsa, , boshlang‘ich holatdan vaqt ichida o‘yinni tugatish mumkin deyiladi.
Mittag-Leflerning umumlashtirilgan matritsali funksiyasi bo‘lsin, bunda kompleks sonlar to‘plami), ixtiyoriy tartibli kvadrat matritsa. Quyidagi
(6)
boshlang‘ich shartli, (1),(2),(3) dinamikali tizimni qaraymiz, u holda (4),(5) tenglamalar yechimlari (6) boshlang‘ich shart bilan
(7)
(8)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Endi uchun larni va ularga ko‘ra
(9)
integralni aniqlaymiz.
Qulaylik uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz
Endi kesmaning ixtiyoriy ajratilishi , bo‘lsin va
(10)
bo‘lsin.
Teorema. Agar (1), (2), (3) o‘yinda biror vaqtda
(11)
tegishlilik bajarilsa, dastlabki holatdan vaqt ichida quvishni tugatish mumkin.
Teorema isboti. boshqaruvini da qurish uchun qochuvchining oraliqdagi boshqaruvi ma’lum bo‘lishi talab qilinadi, bu yerda oldindan berilgan musbat son. Shuning uchun ajralitilishni shunday tanlaymizki unda ixtiyoriy uchun bo‘lsin. bo‘lsa o‘yin tugagan hisoblanadi. holatni qaraymiz. (10) va (11) lardan ga egamiz. Bundan esa
tegishlilikga egamiz. Geometrik ayirma amalining ta’rifiga ko‘ra
qism to‘plamlilik kelib chiqadi. Qochuvchining boshqaruvi o‘lchovli funksiya bo‘lsin. Bundan
tegishlilikga ega bo‘lamiz. Bundan shunday o‘lchovli funksiya mavjudki
tegishlilik o‘rinli bo‘ladi. Bu tegishlilikdan
ga ega bo‘lamiz. Keyin yana shunga o‘xshash mulohaza qilamiz. Geometrik ayirma amalining ta’rifiga ko‘ra
qism to‘plamlilikga egamiz. Qochuvchining boshqaruvi o‘lchovli funksiya bo‘lsin. Bundan
tegishlilikga egamiz. Bundan shunday o‘lchovli funksiya mavjudki
tegishlilik o‘rinli bo‘ladi. Bu tegishlilikdan
va integralni xossasidan
kelib chiqadi va hokazo. Tushunarliki bu jarayonni marta takrorlasak
tegishlilikga ega bo‘lamiz. Bundan
, .
Shunday qilib, nuqtadan chiquvchi traektoriya vaqtda to‘plamga tegishli bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
FOYDALANILGAN ADABIYoTLAR
- Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integralы i proizvodnыe drobnogo poryadka i nekotorыe ix prilojeniya. Minsk: Nauka i texnika. 1987.– 688 s.
- Djrbashyan M.M., Nersesyan A.B. Drobnыe proizvodnыe i zadacha Koshi dlya Differensialnыx uravneniy drobnogo poryadka // Izv. AN Armyanskoy SSr. 1968. T. 3. Vыp. 1. S. 3. 3-29.
- Nigmatullin R.R. Drobnыy integral i yego fizicheskaya interpritatsiya//TMF, 1992.-T.90,№3.-S.354-368.
- Alimov X.N. Differensialnaya igra presledovaniya s raspredelennыmi parametrami vыsokogo poryadka // Vestnik NUUz. – Tashkent. 2013. – № 1. – S. 87-92.
- Mamatov M.Sh., Alimov X.N. K resheniyu zadachi presledovaniya v upravlyaemыx raspredelennыx sistemax vыsokogo poryadka // Matematicheskie trudы. Novosibirsk. 2013. T 16. -№2. c. 95-110.
- Mamatov M.Sh., Tashmanov Ye.B., Alimov X.N. Teoriya upravleniya s raspredelennii i geometricheskimi ogranicheniyami// Monografiya. Toshkent, “Fan va texnologiya”, 2013. 181 s.
