Alimov Hakim Nematovich

Jizzax davlat pedagogika universiteti, Tabiiy va aniq fanlarda masofaviy ta’lim kafedrasi mudiri,

fizika-matematika fanlari bo‘yicha falsafa doktori.

Annotatsiya. Maqolada kasr tartibli differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi quvish masalasini tadqiq qilishda mamentlar metodini qo‘llash imkoniyatlari o‘rganilgan.

Kalit so‘zlar. Kasr tartibli differensial tenglama, quvuvchi o‘yinchi, qochuvchi o‘yinchi, terminal to‘plam, Kaputo ma’nosidagi hosila.

ZADAChA PRESLEDOVANIYa V UPRAVLYaEMOY SISTEME

DROBNOGO PORYaDKA

Annotatsiya. V state izuchayutsya vozmojnosti primeneniya metoda momentov pri rassmotrenii zadachi presledovaniya, opisыvaemoy drobnыmi differensialnыmi uravneniyami.

Klyuchevыe slova: Differensialnoe uravnenie drobnogo poryadka, ubegayuщiy igrok, presleduyuщiy igrok, terminalnoe mnojestvo, proizvodnaya v smыsle Kaputo.

THE PURSUIT PROBLEM IN A FRACTIONAL-ORDER

CONTROLLED SYSTEM

Abstract. In the article using the moments methods the issues of chasing which symbolized fractional differential equations is studied.

Keywords: Fractional differential equation, escaping player, pursuing player, terminal set, derivative in the sense of Caputo.

Quvuvchi deb nomlanadigan birinchi o‘yinchining harakati

(1)

tenlama bilan ifodalansin, bunda  tartibli differensiallash operatori, ,  tartibli o‘zgarmas matritsa. Qochuvchi deb nomlanuvchi ikkinchi o‘yinchining harakati

(2)

tenglama bilan berilgan, bunda   tartibli differensiallash operatori, ,  tartibli o‘zgarmas matritsa, boshqaruv parametrlari, quvuvchi o‘yinchining boshqaruv parametri  qochuvchi o‘yinchining boshqaruv parametri   va kompakt to‘plamlar. Kasrli hosilani Kaputo ma’nosida tushunamiz.

Biror  marta uzluksiz differensiallanuvchi  funksiyaning  tartibli kasrli hosilasi Kaputo ma’nosida quyidagi ifoda bilan aniqlanadi

.                                      (3)

(1),(2),(3) differensial o‘yinlarda  fazodagi bo‘sh bo‘lmagan terminal to‘plam,  va  orqali to‘plamlarning mos ravishda algebraik yig‘indisi va geometrik ayirmasini belgilaymiz. O‘yin tugallangan hisoblanadi, agar  shart bajarilsa. Quvuvchi o‘yinchining maqsadi  ni  to‘plamga tushirishdan iborat, qochuvchi o‘yinchi unga xalaqit berishga intiladi.

Ta’rif. Agar (1), (2) differensial o‘yinda ixtiyoriy  o‘lchovli funksiya uchun shunday  o‘lchovli funksiya qurish mumkin bo‘lsaki, ularga mos

(4)

(5)

tenglamalarning yechimlari uchun  shart bajarilsa,   , boshlang‘ich holatdan  vaqt ichida o‘yinni tugatish mumkin deyiladi.

Mittag-Leflerning umumlashtirilgan matritsali funksiyasi bo‘lsin, bunda kompleks sonlar to‘plami), ixtiyoriy  tartibli kvadrat matritsa. Quyidagi

(6)

boshlang‘ich shartli, (1),(2),(3) dinamikali tizimni qaraymiz, u holda (4),(5) tenglamalar yechimlari (6) boshlang‘ich shart bilan

(7)

(8)

ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Endi  uchun     larni va ularga ko‘ra

(9)

integralni aniqlaymiz.

Qulaylik uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz

Endi  kesmaning ixtiyoriy ajratilishi ,  bo‘lsin va

(10)

bo‘lsin.

Teorema. Agar (1), (2), (3) o‘yinda biror  vaqtda

(11)

tegishlilik bajarilsa,  dastlabki holatdan  vaqt ichida quvishni tugatish mumkin.

Teorema isboti.  boshqaruvini  da qurish uchun qochuvchining  oraliqdagi  boshqaruvi ma’lum bo‘lishi talab qilinadi, bu yerda  oldindan berilgan musbat son. Shuning uchun  ajralitilishni shunday tanlaymizki unda ixtiyoriy  uchun  bo‘lsin.  bo‘lsa o‘yin tugagan hisoblanadi.  holatni qaraymiz. (10) va (11) lardan  ga egamiz. Bundan esa

tegishlilikga egamiz. Geometrik ayirma amalining ta’rifiga ko‘ra

qism to‘plamlilik kelib chiqadi. Qochuvchining boshqaruvi   o‘lchovli funksiya bo‘lsin. Bundan

tegishlilikga ega bo‘lamiz. Bundan shunday    o‘lchovli funksiya mavjudki

tegishlilik o‘rinli bo‘ladi. Bu tegishlilikdan

ga ega bo‘lamiz. Keyin yana shunga o‘xshash mulohaza qilamiz. Geometrik ayirma amalining ta’rifiga ko‘ra

qism to‘plamlilikga egamiz. Qochuvchining boshqaruvi    o‘lchovli funksiya bo‘lsin. Bundan

tegishlilikga egamiz. Bundan shunday    o‘lchovli funksiya mavjudki

tegishlilik o‘rinli bo‘ladi. Bu tegishlilikdan

va integralni xossasidan

kelib chiqadi va hokazo. Tushunarliki bu jarayonni  marta takrorlasak

tegishlilikga ega bo‘lamiz. Bundan

,   .

Shunday qilib,  nuqtadan chiquvchi traektoriya  vaqtda  to‘plamga tegishli bo‘ladi. Teorema isbotlandi.

FOYDALANILGAN ADABIYoTLAR

1. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integralы i proizvodnыe drobnogo poryadka i nekotorыe ix prilojeniya. Minsk: Nauka i texnika. 1987.– 688 s.
2. Djrbashyan M.M., Nersesyan A.B. Drobnыe proizvodnыe i zadacha Koshi dlya Differensialnыx uravneniy drobnogo poryadka // Izv. AN Armyanskoy SSr. 1968. T. 3. Vыp. 1. S. 3. 3-29.
3. Nigmatullin R.R. Drobnыy integral i yego fizicheskaya interpritatsiya//TMF, 1992.-T.90,№3.-S.354-368.
4. Alimov X.N. Differensialnaya igra presledovaniya s raspredelennыmi parametrami vыsokogo poryadka // Vestnik NUUz. – Tashkent. 2013. – № 1. – S. 87-92.
5. Mamatov M.Sh., Alimov X.N. K resheniyu zadachi presledovaniya v upravlyaemыx raspredelennыx sistemax vыsokogo poryadka // Matematicheskie trudы. Novosibirsk. 2013. T 16. -№2. c. 95-110.
6. Mamatov M.Sh., Tashmanov Ye.B., Alimov X.N. Teoriya upravleniya s raspredelennii i geometricheskimi ogranicheniyami// Monografiya. Toshkent, “Fan va texnologiya”, 2013. 181 s.