ASIMPTOTIChESKIE REShENIYa NEKOTORЫX SISTEM NELINEYNЫX DIFFERENSIALNЫX URAVNENIY VЫSShIX PORYaDKOV S MALM PARAMETROM
ASYMPTOTIC SOLUTIONS OF SOME SYSTEMS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF HIGHER ORDERS WITH A SMALL PARAMETER
JDPU, Matematika o‘qitish metodikasi kafedrasi
Alishev Abdumannonon
Tayanch so‘zlar: vektor, matritsa, asimptotik yoyilma (qator), xarakteristik tenglama, kritik hol, formal yechim, umumlashgan teskari matritsa, ildizlarning qism fazasi, Lipshis sharti.
Klyuchevыe slova: vektor, matritsa, asimptoticheskiy razlojeniya, xarakteristicheskiy uravneniya, kriticheskiy sluchay, formalnыe reshenie obobщenno obratnaya matritsa, kornevыm podprostranstvom, usloviya Lipshitsa.
Keywords: vector, matrix, asymptotic expansion, characteristic equation, critical case, formal solution, generalized inverse matrix, root subspace, Lipschitz conditions.
Sekin o‘zgaruvchi koeffitsientli chiziqli bo‘lmagan differensial tenglamalar sistemasining uchun xarakteristik tenglamasi nol ildizga ega bo‘lgan kritik hol uchun, kichik parametrning darajalari bo‘yicha qatorga yoyilgan ko‘rinishdagi asimptotik yechimlari tuzilgan.
Postroenы asimptoticheskiy resheniya v vida razlojeniy v ryad po stepenyam malogo parametra dlya nelineynыy sistemы differensialnыx uravneniy vыsshego poryadka s medlenno menyayuщimsya koeffitsientami v sluchae, kogda xarakteristicheskie uravnenie imeet nulevoy koren, t.n. kriticheskoe sluchae.
Asymptotic solutions are constructed in the form of expansions in powers of a small parameter for a nonlinear system of higher order differential equations with slowly varying coefficients in the case when the characteristic equation has a zero root, the so-called critical case.
Adabiyotlarda birinchi va yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining asimptotik yechimlarining mavjudligi va bu yechimlarni tuzish masalasi yetarlicha yoritilgan. [1-3].
Yuqori tartibli chiziqli bo‘lmagan differensial tenglamalar sistemasi ustida umumiy holda amaliy jihatdan tadqiqot ishlari olib borilmagan.
Ushbu ishning tadqiqot predmeti
, (1)
ko‘rinishdagi singulyar differensial tenglamalar sistemasidan iborat, bunda o‘lchovli vektorlar bo‘lib noma’lum, tartibli kvadrat matrisa, kichik parametr, sekin o‘zgaruvchi vaqt, natural, berilgan son. o‘rniga qo‘yish yordamida (1) sistema
, (2)
ko‘rinishga keltiriladi, biz keyinchalik shu sistema ustida tadqiqot ishlarini olib boramiz.
[3] ishda yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi qaralgan bo‘lib, sistemaning asimptotik yechimini tuzish uchun
, (3)
( birlik matrisa) xarakteristik tenglamaning ildizlari orasidagi bog‘lanishga bog‘liq holda, (3) tenglama noldan farqli ildizlarga ega bo‘lgan hollari uchun asimptotik yechimlar tuzilgan.
Biz shu vaqtgacha qilingan ishlardan farqli ravishda (1) ko‘rinishdagi sistema uchun kritik hol ustida tadqiqot ishlarini olib boramiz, ya’ni (3) – tenglamaning ildizlari orasida aynan nolga teng bo‘lgan holni qaraymiz.
Quyidagi shartlar bajarilsin:
- matrisa parametrning darajalari bo‘yicha
.
qatorga yoyilsin;
- matrisalar kesmada cheksiz differensiallansin.
- vektor nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyilsin.
- (3) – xarakteristik tenglama bitta aynan nolga teng, qolganlari noldan farqli ildizlarga ega bo‘lsin. Bu hol uchun quyidagi teorema o‘rinli.
1 – teorema. Agar 1-4- shartlar va uchun bo‘lsa, u holda (2) sistema
, (4)
ko‘rinishdagi formal xususiy yechimga ega, bunda o‘lchovli vektorlar.
Isbot. (4) – qatorni (2) sistemaga qo‘yib va vektorni nuqta atrofidagi Teylor qatorga yoyilmasini e’tiborga olib
(5)
ayniyatni hosil qilamiz, bunda matrisaning elementlari va vektorning koordinatalari nuqtada hisoblanadi, vektorlar vektorlar orqali ma’lum tartibda ifodalanadi.
(5) – ifodadan parametrning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirib, (4) qatorning elementlarini aniqlash uchun quyidagi rekkurent tenglamalarni hosil qilamiz:
, , (6)
, (7)
……………………………………
, (8)
bunda
, sonning butun qismi.
(6) – tenglamadan [4] ishga asosan
, (9)
-ni aniqlaymiz, bunda o‘lchovli vektor matrisaning xos qiymati bo‘lib, birinchi koordinatasi birga, qolgan koordinatalari nolga teng, . aniqlanishi kerak bo‘lgan cheksiz differensiallanuvchi funksiyalar.
(7),(8) – tenglamalar yechimga ega bo‘ladi, faqat va faqat ularning o‘ng tomonlari vektorga ortoganal bo‘lsa, ( – matrisaning kompleks elementli qo‘shma matrisaning xos qiymatlari).
U holda (7) – tenglama uchun yechim mavjud bo‘lish sharti va (9) – tenglikga asosan bo‘lganda, uchun
yoki
. (10)
ko‘rinishga ega.
Bunday tenglamani yechimi [5] ishga asosan mavjud va har bir aniq hol uchun alohida o‘rganiladi. (7) – tenglama uchun yechim mavjud bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti (10) o‘rinli. U holda (7) – tenglamadan noma’lum vektorni aniqlaymiz:
, (11)
bunda keyingi qadamlarda aniqlanadigan noma’lum funksiya, – matrisaga nisbatan umumlashgan teskari matrisa
. (12)
ko‘rinishga ega.
(8) – tenglama uchun (10) shart
, , (13)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu tenglamadan noma’lum funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
, . (14)
U holda noma’lum quyidagi formula orqali aniqlanadi.
, (15)
bunda yuqoridagidek aniqlanishi kerak bo‘lgan noma’lum funksiya. 1 – teorema isbotlandi.
Endi (3) – xarakteristik tenglama bitta karrali nol ildizga ega bo‘lgan holni qaraymiz. Bu hol uchun (2) tenglamani asimptotik yechimini quyidagi teorema ko‘rsatadi.
2 – teorema. Agar 1-3 shartlar bajarilsa va (3) tenglama bitta nol karrali ildizga ega bo‘lib, unga shunday o‘lchamli ildizlarning qism fazosi mos kelsin, ya’ni uchun , va bo‘lsin, u holda (2) differensial tenglamalar sistemasi
, . (16)
ko‘rinishdagi formal xususiy yechimga ega.
Isbot (16)–ni (2)–sistemaga qo‘yib va vektorni nuqta atrofida qatorga yoyilmasini e’tiborga olib quyidagi ayniyatni hosil qilamiz:
(17)
bunda matrisaning elementlari va vektorning koordinatalari nuqtada hisoblanadi, vektor vektorlar orqali ifodalanadi.
Agar (17) tenglikda parametrning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirsak, u holda noma’lum , , , … vektorlarni aniqlash uchun
, , (18)
, (19)
……………………………………
, , (20)
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz, bunda
.
(18) – tenglamadan (10) – tenglamaga o‘xshash
, , (21)
yechimni aniqlaymiz, bunda o‘lchovli vektor matrisaning xos qiymati, uning chi koordinatasi birga teng, qolgan koordinatalari nolga teng, , uchun noldan farqli bo‘lgan noma’lum funksiyalar keying qadamlarda aniqlanadi.
(19) – tenglama (21) tenglikni etiborga olsak bo‘lganda
. (22)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
(22) – tenglama uchun yechim bo‘lish sharti
. (23)
ko‘rinishda bo‘lib, uni
. (24)
shaklda yozamiz.
Bu yerda ham noma’lum funksiyaga nisbatan oshkormas funksiyaga ega bo‘ldik. Yuqorida qayd etganimizdek [5] ishga asosan yechim mavjud va har bir muayyan hol uchun alohida tekshiriladi.
Demak (19) – tenglama uchun (23) – shart o‘rinli, u holda noma’lum vektor quyidagicha aniqlanadi
, (25)
bunda keyingi qadamlarda aniqlanadigan noma’lum vektor, matrisa qaralayotgan hol uchun ko‘rinishda bo‘ladi
, (26)
matrisaning xos qiymati bo‘lib, birinchi koordinatasi birga qolganlari nolga teng o‘lchovli vektor (satr bo‘yicha).
(16) – qatorning noma’lum hadlarini aniqlashni davom ettirib (20) – tenglamadan elementni aniqlash uchun
, . (27)
tenglikga ega bo‘lamiz. (27) – tenglama uchun yechim mavjud bo‘lish sharti
, . (28)
ko‘rinishga ega.
Bu tenglamadan noma’lum funksiyani aniqlaymiz:
, . (29)
(27) – tenglama uchun (28) – shart o‘rinli, u holda (27) – tenglamadan noma’lum vektorni aniqlaymiz:
, (30)
bunda aniqlanishi kerak bo‘lgan noma’lum funksiya.
Yuqorida ko‘rsatilgan yechimni aniqlash usuli (16) – formal qator yoyilmasidagi elementlarni, ya’ni vektorlarni har qanday nomerlar uchun aniqlash mumkinligini ko‘rsatadi. 2 – teorema isbotlandi.
Endi yuqorida tuzilgan (4) va (16) yechimlarni asimptotik xarakterga ega ekanligini ko‘rsatuvchi teoremalarni keltiramiz.
3 – teorema. Faraz qilaylik (1) differensial tenglamalar sistemasi uchun 1 – teoremaning barcha shartlari bajarilsin va vektor funksiya o‘zgarmas bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantirsin:
, (31)
shuningdek
, , , (32)
bunda , . (1) sistemaning aniq va yaqinlashuvchi yechimlari. U holda ixtiyoriy uchun parametrga bog‘liq bo‘lmagan o‘zgarmas mavjudki uchun bo‘lganda
,
, . (33)
tengsizlik o‘rinli.
4 – teorema. Agar 2 – teoremani shartlari va (31), (32) munosabatlar bajarilsa, u holda shunday musbat va sonlar topiladiki bo‘lganda oraliqda
,
, . (34)
tengsizlik bajariladi.
Adabiyotlar:
- Feщenko S.F., Shkil N.I., Nikolenko L.D. Asimptoticheskie metodы v teorii lineynыx differensialnыx uravneniy. – k.: Nauka dumka.
- Shkil N.I., Meyliev T.K. Ob asimptoticheskom predstavlenii resheniy sistemы lineynыx differensialnыx uravneniy vtorogo poryadka s malыm parametrom pri starshey proizvodnoy. Asimptoticheskie metodы v teorii nelineynыx kolebaniy. – k.: Nauk dumka, 1979, – s. 262-269.
- Kushnir V.A. Asimptoticheskie resheniya nekotorыx sistem lineynыx differensialnыx uravneniy vыsshix poryadkov. Sb. KGPN Summirovanie rasxodyaщixsya ryadov i differensialnыe uravneniya s malыm parametrom. – s.37-42.
- Alishev A., Alishev Sh. Oddiy differensial tenglamalar sistemasini asimptotik integrallash: – “Fan va texnologiya” nashriyoti. 2016-260 b.
- Fixtengols G.M. Osnovы matematicheskogo analiza. – M.: Nauka T.I, 1968. – 464 s.
