JDPI o’qituvchi Xoljigitov Sobir Mamaraupovich o’qituvchi
Sobirjon2020@inbox.ru
Annotatsiya: Ushbu maqolada turli ko’rinishdagi kvadrika tenglamasining turlarini topishga doir masalalar yechilgan. Kvadratika turlarini topishda bir nechta usullarda ishlangan masalalar mavjud. Ma’lumki, geometriya kursida kvadrika tenglamalarini yechishda kvadratik formaning o’rni muhim hisoblanadi. Kvadratik forma Lagranj teoremalari orqali kanonik ko’rinishga keltiriladi, so’ngra normal ko’rinishga keltiriladi.
ANNOTATION: This article solves the problem of finding different types of quadratic equations. There are problems that have been worked out in several ways in finding the types of squares. As you know, in the course of geometry, the role of the quadratic form is important in solving quadratic equations. The quadratic form is reduced to a canonical form by Lagrange’s theorems, and then to a normal form.
Kalit so’zlar: kvadratik forma, chiziqli forma, kvadrika.
Keywords: square shape, line shape, quadriceps.
Bizga ma’lumki, Kvadrika tenglamasi quyidagicha ko’rinishda bo’ladi.
(1)
- ko’rinishdagi har qanday tenglamani yangi reperga o’tish yo’li bilan quyidagi uch ko’rinishdan biriga keltirish mumkin ekan[1]:
- , , .
- , , . (2)
Uch o’lchovli affin fazoda 17 xil kvadrikaning borligini oshkor qilish osondir. (2) dagi tenglamalarda k ni 1,2,3 sonlar deb olinsa 17 ta har xil tenglama hosil qilamiz. Shu kvadrikalarni uch o’lchovli yevklid fazosida qarasak, dekart reperini qulay tanlab olish yo’li bilan ularning tenglamalarini quyidagi jadvalda ko’rsatilgandek qilib yozish mumkin[1].
| № |
Kvadrika tenglamasi |
Kvadrikaning nomi |
| 1 |
|
Ellipsoid |
| 2 |
|
Mavhum ellipsoid |
| 3 |
|
Bir pallali giperboloid |
| 4 |
|
Bir pallali giperboloid |
| 5 |
|
Mavhum konus |
| 6 |
|
Uchi koordinatalar boshida bo’lgan konus |
| 7 |
|
Elliptik silindr |
| 8 |
|
Mavhum silindr |
| 9 |
|
Giperbolik silindr |
| 10 |
|
OZ o’q bo’yicha kesishuvchi 2 ta mavhum tekislik |
| 11 |
|
Ikkita kesishuvchi tekislik |
| 12 |
|
Ikki parallel tekislik |
| 13 |
|
Ikki mavhum o’zaro parallel tekislik |
| 14 |
|
Ustma-ust tushgan ikki tekislik |
| 15 |
|
Elliptik paraboloid |
| 16 |
|
Giperbolik paraboloid |
| 17 |
|
Parabolik silindr |
1-masala: kvadrikaning tenglamasini kanonik
ko’rinishga keltiring va turini aniqlang?
Yechish: , , ni kanonik ko’rinishga keltiramiz. , desak,
bo’lib,
yoki .
U holda berilgan tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
yoki to’liq kvadratga keltirsak,
.
, almashtirishdan so’ng .
dagi ellips tenglamasi hosil qilindi.
2-masala. da berilgan kvadrikalarning markazlarini toping[4].
- 4
Yechish: Kvadrika markazini ikki usulda topishimiz mumkin.
Birinchi usul:
Bu kvadrika tenglamasidan quyidagi koeffisientlarni topib olamiz:
=3,
Bu koefsentlarni quyidagi tengsizlikka qo’yamiz:
Natijada ushbu tengsizliklar sistemasi hosil bo’ladi:
Bu tenglamalar sistemasining koefsentlaridan
ni topamiz ya’ni:
ekanligidan foydalanib kvadrika yogona simmetriya markaziga ega ekanligi ma’lum . Endi esa simmetriya markazi S( ning koordinatalari bo’lgan larni topamiz. Buning uchun quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz:
=>
Demak bu kvadrikaning yagona simmetriya markazi mavjud va u
S(-1;6;-2)ga teng.
Ikkinchi usul:
Berilgan kvadrika tenglamasidan uning simmetriya markazini topish uchun
avval bo’yicha keyin bo’yicha nihoyat bo’yicha xususiy hosila olamiz:
Natijada quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:
Bu tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar oldidagi koefsentlar orqali
Ekanligidan foydalanib kvadrika yagona simmetrrya markaziga ega ekanligi ma’lum . Endi esa simmetriya markazi S( ning koordinatalarini bo’lgan larni topamiz: Buning uchun
Quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz:
Demak, kvadrikaning simmetriya markazi S(-1;6;-2) ga teng.
3-Masala: tenglama bilan aniqlanuvchi kvadrikaning turini toping.[1]
Echish. Avvalo bu kvadrikaning simmetriya markazi bor-yo`qligini aniqlaylik. Buning uchun berilgan tenglamadan avval u
1, keyin u
2, nihoyat u
3bo`yicha hosila olaylik: 2u
1+4u
3=0,
2u
2-4=0;
4u
1=0;
bu sistema yagona yichimga ega: u
1=0, u
2=2, u
3=0. Markazi (0,2,0) nuqtada. Endi reper boshini shu markazga keltiraylik, buning uchun quydagicha chiziqli almashtirishni bajarish kerak: , ,
bularni berilgan tenglamaga qo`ysak,
Endi kvadratik formani Lagranj usuli bilan kanonik ko`rinishga keltiramiz. Ushbu
x1=y1+2y3 , x2=y2 , x3=y3
almashtirishni bajarib
, ni hisoblaylik:
yoki
U holda berilgfan tenglama quydagicha bo`ladi: yoki , yoki
bu esa,
A3 dagi bir pallali giperboloiddir[3].
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, (1) ko’rinishdagi har qanday tenglamani yangi reperga o’tish yo’li bilan quyidagi uch ko’rinishdan biriga keltirish mumkin ekan. Uch o’lchovli yevklid fazosidagi kvadrikalardan 17 ta ikkinchi tartibli chiziqlardan biri kelib chiqishini mumkin.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
- D.Dadajonov, M.Sh.Jo’raeva. Geometriya. 1-qism. Toshkent, «O’qituvchi» 1996 y.
- X.Nazarov, X.O.Ochilova, E.G.Podgornova. Geometriyadan masalalar to’plami. 1-qism. Toshkent. O’qituvchi 1997 y.
- Baxvalov S.V., Modеnov P.S., Parxomеnko A.S. Analitik gеomеtriyadan masalalar to`plami. Toshkеnt. «O`qituvchi», 2006 yil.
