1Majidov Shodi Saloxiddin o’g’li
2Sayfullayev Lazizxon Numon o’g’li talaba
1Jizzax davlat pedagogika universiteti
Annotatsiya: Ushbu maqolada yuqori tartibli differensial tenglamalar yechimining mavjudligi va yagonaligi yoritib berilgan.
Kalit so’zlar: Differensial tenglama, yuqori tartibli differensial tenglamalar, Koshi teoremasi, bir jinsli, chiziqli, umumiy yechim.
Biz differensial tenglamalar nazariyasini boshlaganimizda yuqori tartibli differensial tenglamalarni, jumladan
(1)
ko’rinishdagi -tartibli differensial tenglamani ko’rgan edik. Bu yerda ham birinchi tartibli tenglamaning yechimi haqidagi teoremaga o’xshash (1) tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi Koshi teoremasini isbotsiz keltirib o’taylik.
Teorema. Agar (1) tenglamada funksiya va uning argumentlari bo’yicha olingan xususiy hosilalari qiymatlarni o’z ichiga olgan biror sohada uzluksiz bo’lsa, bu holda (1) tenglamaning
(2)
shartlarni qanoatlantiruvchi
(3)
yechimi mavjud va yagona bo’ladi.
Agar ikkinchi tartibli tenglamani olsak boshlang’ich shart bo’lib, Koshi masalasining geometrik ma’nosi tekislikning nuqtasidan faqat bitta egri chiziq o’tishini va bu egri chiziqning shu nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisienti bo’lishini ifodalaydi.
- tenglamaning umumiy yechimi
(4)
ko’rinishda bo’lib bu yerdagi lar ixtiyoriy o’zgarmaslar edi.
Agar ixtiyoriy o’zgarmas larning (2) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi aniq konkret son qiymatlarini topsak va (4) ga qo’ysak, u holda
(5)
ga (1) ning xususiy yechimi deyiladi.
Umumiy va xususiy yechimlarga mos ravishda umumiy va xususiy integral chiziqlari ham deyiladi.
Endi eng sodda ko’rinishdagi ba’zi bir tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan ikkinchi tartibli tenglamalarni ko’rib o’taylik.
ko’rinishdagi tenglamani ko’raylik, bu yerda lar bevosita qatnashmagan:
yoki integrallasak
integrallasak
Endi eng sodda ko’rinishdagi -tartibli differensial tenglamani ko’raylik. ning har ikkala tomonini x bo’yicha integrallasak
integrallasak
– yana integrallasak
Shu prosessni marta davom ettirsak
ko’rinishdagi tenglamani ko’raylik, ya’ni noma’lum funksiya u bevosita qatnashmagan. Bunday tenglamalarni yechish uchun desak (-noma’lum funksiya) bu holda yoki – bu esa birinchi tartibli tenglama, bo’lishi mumkin o’zgaruvchilari ajraladigan, bir jinsli yoki chiziqli, uni yechsak bo’lgani uchun
– umumiy yechim.
ko’rinishdagi, erkli o’zgaruvchi bevosita qatnashmagan tenglamani ko’raylik. Bu yerda ya’ni noma’lum funksiya kiritsak
– bu ham birinchi tartibli differensial tenglama, yechsak
buni ham yechsak . Demak,
Misol. 1. desak
integrallasak hosil bo’ladi, ni hisobga olsak
buni integrallasak .
Demak, – umumiy yechim.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1.Jo‘raev T.J., Xudoyberganov R.X., Borisov A.K., Mansurov X. Oliy matematika asoslari. Darslik. T. O‘zbekiston, 1999, 290 bet.
- Soatov E.U. Oliy matematika kursi. I, II qism. «O‘qituvchi». 1994.
