данной работе расмсматрывается задача построения оптимальных разностных формул для приближенного решения задача Коши в пространстве Соболева функций производние -го порядка (в обобщенном смысле) интегрируемых с квадратом. Пользуясь дискретным анологом дифференциального оператора -го порядка найдется представления оптимальных разностных формул.
Shadimetov Kholmat, Mirzakabilov Ravshan
Sun Jun 26 12:45:22 2022
1. Функциональная постановка задач.
Всюду в дальнейшем под разностной формулой мы будем понимать приближенное равенство
(1)Здесь , , , и коэффициенты разностной формулы. , . Будем рассматривать функции , принадлежащие гильбертову пространству Соболева . Гильбертово пространство — класс вещественных функций , отличающихся на полином степени с производными (в смысле обобщенных функций) порядка , квадратично интегрируемыми на интервале и скалярным произведе (2)Полунорма в пространсве Соболева задается формулой
(3)Известно [?], что пространство вложено в пространство непрерывных функций, то линейным будет и функционал погрешности разностной формулы
(4)где -дельта функция Дирака. Задача о построении разностной формулы вида (1) в функциональной постановке состоит в нахождении такого функционала (4), норма которого в пространстве минимальна. Для нахождения в явном виде нормы функционала погрешности мы будем пользоваться часто так называемой экстремальной функцией данного функционала, т.е такой функцией для которой
Известно, что в работе И.Бабушка и др [2] нахождение экстремальной функции сведена к решению краевых задач для дифференциального уравнения -го порядка, но там решение не приводится.
В работе [4] явно найдена экстремальная функция, т.е доказаны следующие.
Theorem 1. Экстремальная функция разностной формулы вида
с функционалом погрешности
(5)
в пространстве Соболева определяется формулой
(6)
Здесь , -некоторый полином степени . Поскольку функционал погрешности определен в пространстве Соболева , то имеет место
(7)
Theorem 2. Квадрат нормы функционала погрешности (5) разностной формулы вида (1) определяется формулой
(8)
Функциональной постановке задач теории кубатурных и разностных формул рассматривалась в работах [?]-[?].
2 2. Система линейных уравнений для нахождения оптимальных коэффициентов разностных формул общего вида.
Теперь переходим к вычислению квадрата нормы функционала погрешности разностных формул. Для этого в силу теоремы 1, пользуясь выражением экстремальной функцией и формулой (8) последовательно получаем
Отсюда в силу условий ортогональности функционала погрешности , к многочлен — ой степи, т.е формулой (7) имеем
(9)
Вычислим свёртку
(10)
Пользуясь формулой (10) , квадрата нормы (9) приводим к виду
(11)
Здесь
(12)
(13)
Известно, что устойчивость разностной формулы в смысле Г.Далквиста так же, сильная устойчивость, определяется только коэффициентами (см.[11,12,14]. По этой причине наш поиск оптимальной формулы связан лишь с изменением . Ясно что если , заданы, то существует только один набор , определяющий разностные формулы наибольшей возможной степени. Эти формулы имеют очевидное преимущество перед другими, если решение достаточно гладкое.
Теперь переходим к минимизации квадрата нормы функционала погрешности разностной формулы при заданных по коэффициентам , подчиненных условиям (7).
Применим метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этого составим функцию Лагранжа
Приравниваем нулю все частные производные по и от функции
Это даст систему уравнений
(14)
(15)
Решение системы (14) и (15) которые мы обозначим , представляют собою стационарную точку для функции . Из теории метода Лагранжа следует, что будут искомыми значениями коэффициентов оптимальной разностной формулы. Они дают условный минимум квадрату нормы при соблюдении условий (7).
В итоге для построения неявных оптимальных разностных формул мы должны решать следующую систему линейных алгебраических уравнений
(16)
(17)
-определяется из условий устойчивости разностной формулы в смысле Г.Далквиста и .
Оределения 1.
Разностная формула (1) устойчива в смысле Далквиста, если все корни характеристического полинома таковы, что , а те же корны для которых просты.
Точно так же для явной разностной формулы имеем
(18)
(19)
В системах (16), (17) и (18),(19) неизвестными являются коэффициенты разностных формул и коэффициенты многочлена дискретного аргумента степени .
Из (11) следует, что при фиксированном значении шага квадрат нормы функционала погрешности разностных формул, являясь квадратичной функцией от коэффициентов, т.е. от функции , имеет минимум, и притом единственный, при некотором конкретном значении .
Разностная формула с коэффициентами соответсвующая этому минимуму называется оптимальной, а называются оптимальными коэффициентами разностных формул.
3 3. Алгоритм построения оптимальных разностных формул
Здесь мы приводи метод для решения системы общего вида (14), (15).
Для этого систему (14), (15) перепишем в виде
(20)
(21)
Здесь , ,
(22)
(23)
(24)
-заданные коэффициенты,
(25)
В системе (20), (21) неизвестными являются оптимальные коэффициенты разностных формул вида (1) и коэффициенты полинома дискретного аргумента степени .
В дальнейшем нам необходимо несколько определений
Определение 2. Функцию называют функцией дискретного аргумента, если она задано на некотором множестве целочисленных значений .
Определение 3. Скалярным произведением на называют число
(26)
если ред привой части (26) абсолютно сходится.
Определение 4. Сверткой двух функций на называется скалярного произведение
(27)
Обозначим через множество целых чисел т.е . Тепер считая что при т.е при и используя определение свёртки двух функций дискретного аргумента, систему (20), (21) записываем в вида уравнений в свёртках
(28)
(29)
(30)
Система (28)-(30) называется дискретной системой Винера-Хопфа.
Отсюда следует следующая задача.
Задача А. Найти функцию многочлен удовлетворяющие системы (28)-(30), при заданных и заданных .
Для решения этой задача, мы будем использовать известного дискретного оператора (см [?]-[?])
(31)
где , — многочлен Эйлера степени , -корни многочлена Эйлера ,по модулю меньшие единицы, т.е .
Оператор удовлетворяет уравнению в свёртках
(32)
где — дискретная дельта функция, которая определяется формулой
Кроме того известно, что оператор и одночлены связаны между собой соотношениями
(33)
Рассмотрим следующие функции дискретного аргумента
и
(34)
В силу оператор позволяет выразить, в свою очеред, в виде
и преобразовать задачу отыскания оптимальных разностных формул. В задачу отискания неизвестной функции . Для этого рассмотрим функцию . Легко показать что вне области функция имеет вид
В силу (30) имеем
Здесь
(35)
многочлен степени ,а неизвестный многочлен степена . Тогда принимает следующий вид
Обозначим
Отсюда имея в виду (34), получаем
Отсюда непосредствонно находим неизвестные многочлены
Итак, получаем следующую задачу:
Задача В. Найти решения уравнения
(36)
имеющего вид
где
т.е. многочлен дискретного аргумента степени , и -неизвестные многочлены степени , а определятся формулой (23).
Если задача В решена, т.е найдены и , то оптимальные коэффициенты разностных формул вида (1) т.е решение системы (20),(21) определяются формулами
(37)
(38)
4 4. Представления коэффициентов оптимальных разностных формул.
Для нахождения представления коэффициентов оптимальных разностных формул вычислим свертку
(39)
Здесь и многочлен определяются формулами (31), (35). Неизвестный многочлен и определяются из (36).
Обозначим через сумму
(40)
сумму прибавляя и отнимая ряды и получим
Так, как в нашем случае полином степена, то в силу (33) имеем
Тогда принимает следующий вид
(41)
В силу формулы (40), (41) формула (39) напишем следующем вида
Пусть теперь , тогда пользуясь формулой (31) для получаем
(42)
Здесь
(43)
(44)
Предеставления и находим из системы (30). Для этого из системы (30) возьмем два уравнения при и подставим вместо при формулу (42). Решая полученную систему относительно и , и получаем.
(45)
(46)
Итак мы доказали следующую теорему.
Теорема. Коэффициенты оптимальных разностных формул вида (1) в пространстве Соболева предеставляются формулами (42), (45), (46).
5 Conclusion
Итак в этой работе мы изучали задачу построения оптимальных разностных формул для приблеженного решения задача Коши в пространстве Соболева . При этом для нахождения коэффициентов оптимальных разностных формул получена система типа Винера-Хопфа. Для решения этой системы предложен алгоритм. Используя этот алгоритм мы получили представления коэффициентов оптимальных разностных формул в рассматриваемом пронстранстве.
