KVADRIKA TENGLAMASINI YECHISH VA TURLARGA AJRATISH

JDPI o’qituvchi Xoljigitov Sobir Mamaraupovich o’qituvchi Sobirjon2020@inbox.ru Annotatsiya: Ushbu maqolada turli ko’rinishdagi kvadrika tenglamasining turlarini topishga doir masalalar yechilgan. Kvadratika turlarini topishda bir nechta usullarda ishlangan masalalar mavjud. Ma’lumki, geometriya kursida kvadrika tenglamalarini yechishda kvadratik formaning o’rni muhim hisoblanadi. Kvadratik forma Lagranj teoremalari orqali kanonik ko’rinishga keltiriladi, so’ngra normal ko’rinishga keltiriladi. ANNOTATION: This article solves the problem of finding different types of quadratic equations. There are problems that have been worked out in several ways in finding the types of squares. As you know, in the course of geometry, the role of the quadratic form is important in solving quadratic equations. The quadratic form is reduced to a canonical form by Lagrange’s theorems, and then to a normal form. Kalit so’zlar: kvadratik forma, chiziqli forma, kvadrika. Keywords: square shape, line shape, quadriceps.   Bizga ma’lumki, Kvadrika tenglamasi quyidagicha ko’rinishda bo’ladi. (1)

• ko’rinishdagi har qanday tenglamani yangi reperga o’tish yo’li bilan quyidagi uch ko’rinishdan biriga keltirish mumkin ekan[1]:

 

1. , ,  .
2. , ,  .                                                 (2)

• , ,  .

  Uch o’lchovli affin fazoda 17 xil kvadrikaning borligini oshkor qilish osondir. (2) dagi tenglamalarda k ni 1,2,3 sonlar deb olinsa 17 ta har xil tenglama hosil qilamiz. Shu kvadrikalarni uch o’lchovli yevklid fazosida qarasak, dekart reperini qulay tanlab olish yo’li bilan ularning tenglamalarini quyidagi jadvalda ko’rsatilgandek qilib yozish mumkin[1].  

№	Kvadrika  tenglamasi	Kvadrikaning nomi
1		Ellipsoid
2		Mavhum ellipsoid
3		Bir pallali giperboloid
4		Bir pallali giperboloid
5		Mavhum konus
6		Uchi koordinatalar boshida bo’lgan konus
7		Elliptik silindr
8		Mavhum silindr
9		Giperbolik silindr
10		OZ o’q bo’yicha kesishuvchi 2 ta mavhum tekislik
11		Ikkita kesishuvchi tekislik
12		Ikki parallel tekislik
13		Ikki mavhum o’zaro parallel tekislik
14		Ustma-ust tushgan ikki tekislik
15		Elliptik paraboloid
16		Giperbolik paraboloid
17		Parabolik silindr

1-masala:   kvadrikaning tenglamasini kanonik ko’rinishga keltiring va turini aniqlang? Yechish: ,  ,   ni kanonik ko’rinishga keltiramiz.   ,   desak, bo’lib, yoki  . U holda berilgan tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: yoki to’liq kvadratga keltirsak, . ,  almashtirishdan so’ng  . dagi ellips tenglamasi hosil qilindi. 2-masala.    da berilgan kvadrikalarning markazlarini toping[4].

2. 4

            Yechish: Kvadrika markazini ikki usulda topishimiz mumkin. Birinchi usul: Bu kvadrika tenglamasidan quyidagi koeffisientlarni topib olamiz: =3,       Bu koefsentlarni quyidagi tengsizlikka qo’yamiz: Natijada ushbu tengsizliklar sistemasi hosil bo’ladi: Bu tenglamalar sistemasining koefsentlaridan ni topamiz  ya’ni: ekanligidan  foydalanib       kvadrika yogona simmetriya  markaziga ega ekanligi ma’lum . Endi esa simmetriya markazi  S( ning  koordinatalari bo’lgan      larni topamiz. Buning uchun quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz: => Demak bu kvadrikaning yagona simmetriya markazi mavjud va u S(-1;6;-2)ga teng.             Ikkinchi usul: Berilgan kvadrika tenglamasidan uning simmetriya markazini topish uchun avval    bo’yicha  keyin   bo’yicha   nihoyat  bo’yicha  xususiy hosila olamiz: Natijada quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi: Bu tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar oldidagi koefsentlar orqali Ekanligidan  foydalanib    kvadrika yagona simmetrrya  markaziga ega ekanligi ma’lum . Endi esa simmetriya markazi  S( ning    koordinatalarini  bo’lgan       larni     topamiz: Buning uchun Quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz: Demak, kvadrikaning simmetriya markazi S(-1;6;-2) ga teng.             3-Masala:    tenglama bilan aniqlanuvchi kvadrikaning turini toping.[1] Echish.  Avvalo bu kvadrikaning simmetriya markazi bor-yo`qligini aniqlaylik. Buning uchun berilgan tenglamadan avval u<sub>1</sub>, keyin u<sub>2</sub>, nihoyat u<sub>3</sub>bo`yicha hosila olaylik:      2u₁+4u₃=0, 2u₂-4=0; 4u₁=0; bu sistema yagona yichimga ega: u₁=0, u₂=2, u₃=0. Markazi (0,2,0) nuqtada. Endi reper boshini shu markazga keltiraylik, buning uchun quydagicha chiziqli almashtirishni bajarish kerak:    ,  , bularni berilgan tenglamaga qo`ysak, Endi  kvadratik formani Lagranj usuli bilan kanonik ko`rinishga keltiramiz. Ushbu x₁=y₁+2y₃ ,  x₂=y₂ ,  x₃=y₃ almashtirishni bajarib,  ni hisoblaylik:   yoki U holda berilgfan tenglama quydagicha bo`ladi:    yoki  ,  yoki bu esa,  A₃ dagi bir pallali giperboloiddir[3]. Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, (1) ko’rinishdagi har qanday tenglamani yangi reperga o’tish yo’li bilan quyidagi uch ko’rinishdan biriga keltirish mumkin ekan. Uch o’lchovli yevklid fazosidagi kvadrikalardan 17 ta ikkinchi tartibli chiziqlardan biri kelib chiqishini mumkin.   FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI

1. D.Dadajonov, M.Sh.Jo’raeva. Geometriya. 1-qism. Toshkent, «O’qituvchi» 1996 y.
2. X.Nazarov, X.O.Ochilova, E.G.Podgornova. Geometriyadan masalalar to’plami. 1-qism. Toshkent. O’qituvchi 1997 y.
3. Baxvalov S.V., Modеnov P.S., Parxomеnko A.S. Analitik gеomеtriyadan masalalar to`plami. Toshkеnt. «O`qituvchi», 2006 yil.